시스템 성능 평가 퀴즈5
수 11 5월 2016
Q. We consider a Poisson point process in two dimensions with a constant intensity \(b (b>0)\). Let \(N(A)\) be the number of points in the area \(A\). For any disjoint partition \(A1\), \(A2\), \(A3\) of \(A\), calculate \(Pr\{N(A1)=k_1, N(A2)=k_2, N(A3)=k_3|N(A)=n\}\), where \(k_1+k_2+k_3=n\).
A.
\(k_1+k_2+k_3=n\)이므로, 다음이 성립한다.
$$ N(A-(A1+A2+A3)) = 0 $$
또한 영역 A의 넓이를 |A|라고 할 때, 다음이 성립한다.
$$ |A-(A1+A2+A3)| = |A| - (|A1| + |A2| + |A3|)$$
주어진 공간은 constant intensity \(b\)를 가지는 Homogeneous poisson point process이므로, 구하고자 하는 확률 분포는 다음과 같다.
$$\begin{split}
Pr\{N(A1)=k_1, N(A2)=k_2, N(A4)=k_3|N(A)=n\} & = \frac{Pr\{N(A1)=k_1\} Pr\{N(A2)=k_2\} Pr\{N(A3)=k_3\} Pr\{N(A-(A1+A2+A3))=0\}}{Pr\{N(A)=n\}}\\
& = \frac{\frac{(b|A1|)^{k_1}}{k_1!}e^{-b|A1|}\frac{(b|A2|)^{k_2}}{k_2!}e^{-b|A2|}\frac{(b|A3|)^{k_3}}{k_3!}e^{-b|A3|}\frac{(b|A-(A1+A2+A3)|)^0}{0!}e^{-b|A-(A1+A2+A3)|}}{\frac{(b|A|)^n}{n!}e^{-b|A|}}\\
& = \frac{n!}{k_1!k_2!k_3!}\frac{|A1|}{|A|}^{k_1}\frac{|A2|}{|A|}^{k_2}\frac{|A3|}{|A|}^{k_3}
\end{split}$$
Category: quiz Tagged: system analysis quiz markov chain transition probability diagram